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定積分と不定積分

数学

定積分と不定積分

最近急に寒くなってきていて早くこたつでみかんを実行したいぬめりです。
今日は積分の話
一口に積分を計算するといってもどういう意味で"積分"という言葉を用いているかで大きく意味が異なる。
一般的に"積分"というと以下の二つのどちらかを連想するだろう

非常に初歩的であるが物事を理解するという過程において文字に起こすというのは効果的であるので簡単に上の二つの違いについてまとめてみたいと思う。

定積分

区分求積法が考え方の起源である。

区間{[a,b]}で連続な関数{f(x)}に対して

\displaystyle{
    \int_{a}^b f(x)\, \mathrm{d}x = \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=0}^n f(x_i) \cdot \Delta x
}

を計算すると{[a,b]}における{f(x)}と{x}軸との間の面積と一致する。

定積分の考え方で重要なのが面積に相当する"値"を計算しているという点である。

不定積分

不定積分の定義は微分から考える。

関数{f(x)}に対して原始関数{F(x)}を

\displaystyle{
F(x)=\int_a^x f(x)\, \mathrm{d}x
}

と表せる。ただし、

\displaystyle{
\frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x} = f(x)
}

を{F(x)}は満たす。

不定積分で重要なのは微分の逆演算として定義されているという点です。

まとめ

定積分と不定積分、それぞれ別々の起源をもつ演算であるがこの二つが統合されたことが微積分学の最も重要な進歩のひとつなのかなと思います。

数式だけだとどうしてもわかりづらいね。
はてなでどうにかxy平面ぐらい描きたいです。さがせばありそう。